Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.
Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.
Навигация по странице.
Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:
Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .
А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):
Определение.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
Определение.
Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.
Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.
Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:
Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.
Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:
Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.
Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.
В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a
Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!
Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a
Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b . Так как по условию a
На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением −c .
Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .
Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.
Доказательство. Начнем со случая, когда c>0
. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c
. Так как по условию a0
, то произведение (a−b)·c
будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b
на положительное число c
(что следует из ). Следовательно, a·c−b·c<0
, откуда a·c На доказательстве рассмотренного свойства для деления обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число c не останавливаемся, так как деление всегда можно заменить умножением на 1/c
. Покажем пример применения разобранного свойства на конкретных числах. Например, можно обе части верного числового неравенства 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий. Все разобранные выше в этом пункте свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведем блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей. Если для чисел a
, b
, c
и d
справедливы неравенства a
Докажем, что (a+c)−(b+d)
– отрицательное число, этим будет доказано, что a+c По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трех, четырех, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
справедливы неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, нам даны три верных числовых неравенства одного знака −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можно почленно умножать числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами. В частности, для двух неравенств a
Для доказательства можно умножить обе части неравенста a
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями. То есть, если a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
– положительные числа, причем a 1 a 1 ·a 2 ·…·a n . Отдельно стоит заметить, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам. Например, числовые неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида a
В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств
:
Список литературы.
Социологические и социокультурные аспекты
В России проблема «цифрового неравенства» обсуждается относительно давно и исследуется рядом специалистов как технического, так социологического, экономического и других профилей. Проводится ряд научных дискуссий и семинаров, на которых обсуждаются те или иные аспекты цифрового неравенства, выдвигаются основные пути решения этой серьезной социальной проблемы. Также этот вопрос затрагивается на многих Интернет-форумах людьми, которым не безразлично внедрение Электронного Правительства.
Проблема информационного неравенства чрезвычайно сложна из-за множества особенностей и причин и представляет большую угрозу дальнейшему позитивному развитию российского общества. Поэтому главной задачей государственной политики должно стать объединение интересов и возможностей всех заинтересованных сторон – представителей исполнительной и законодательной власти, ученых, общественных деятелей – в целях создания развитого цивилизованного информационного общества, общества людей с равными возможностями.
Проблема цифрового неравенства получила достаточно большое распространение в российской публицистике и стала предметом обсуждения на самых высоких политических уровнях. Обсуждение сопровождалось и действиями, направленными как на стимулирование конкуренции среди телекоммуникационных провайдеров, так и принятии специальных программ ликвидации цифрового неравенства. Например, в 2002 г. начала реализовываться Федеральная целевая программа "Электронная Россия". Президент несколько раз высказывался по этому поводу на различных заседаниях и даже в ежегодном послании Федеральному Собранию. В частности, в самом начале своего президентского срока на заседании президиума Государственного совета, он заявил, что "разница в информационной подготовке, информационных возможностях, которая существуют между людьми, живущими в нашей стране, и создает так называемый информационный разрыв, или цифровой разрыв, цифровое неравенство".
Стоит отметить также, что стоимость безлимитного подключения к Интернету во Владивостоке, например, стоит 1300 руб. в месяц при очень низкой скорости Интернет-соединения, а в Москве за высокоскоростной Интернет в месяц платят лишь 167 руб. (В Ульяновске – около 400 руб.). Такой колоссальный разрыв объясняется тем, что региональным провайдером приходится платить Ростелекому за трафик до крупного регионального узла, где проходит магистральный канал. Другой причиной является относительно низкая в регионах конкуренция среди провайдеров. К счастью, в последнее время эта ситуация стала медленно исправляться с приходом регионы крупных межрегиональных и национальных провайдеров и появлением в регионах Wi-Fi точек доступа.
Однако «информационное неравенство» не сводится только к отсутствию доступа к компьютерам и Интернету: мало обеспечить доступ - необходимо, чтобы люди могли этим доступом воспользоваться. Осведомленность и квалификация в сфере современных информационных технологий - это социальный навык, который стремительно становится необходимостью для современного человека. Следует учесть, что за неравенством по уровню компьютерной/информационной грамотности населения скрываются еще как минимум два тесно связанных между собой аспекта информационного неравенства. Во-первых, это проблема отсутствия мотивации, когда люди не хотят пользоваться информационно-компьютерными технологиями, хотя и имеют такую возможность. Во-вторых, информационное неравенство порождается еще и недостаточностью контента: отсутствие мотивации зачастую объясняется именно тем, что люди не могут найти в Интернет-пространстве то, что им нужно, или получить нужные услуги.
Недостаток навыков или возможности работы с компьютером и интернетом, а также отсутствие такой необходимости - основные причины, по которым у многих людей нет желания пользоваться электронными госуслугами. Подобные мотивы шире распространены среди людей старшего возраста. По данным фонда "Общественное мнение" (ФОМ) 10% таких людей, проживающих в городах с населением от 250 тыс.челове до 1 миллиона человек, не владеют ни компьютером, ни Интернетом, это сложно для них, еще 10% не хотят владеть ими потому, что им это не нужно, 6% не имеют ни компьютера, ни выхода в Интернет, 5% не доверяют Интернету.
Несколько дней по рунету гуляет перевод статьи из одной из влиятельнейших газет мира New York Times о том, что потребление цифровых услуг - это признак бедности.
О том, почему это утверждение не соответствует действительности, очень хорошо написал в ЖЖ популярный блогер Дмитрий Чернышев:
«Я сначала процитирую несколько особенно хлестких абзацев оттуда, а потом объясню, почему на самом деле все гораздо интереснее.
«Вы бедный, если ваш врач консультирует вас по интернету, а не в ходе личной встречи.
Бедный, если ваши дети учатся онлайн, а не у оффлайновых преподавателей.
Бедный, если покупаете товары онлайн, а не в красивом магазине в центре города.
Для бедных существует гигантский рынок сексуальных услуг онлайн, где жители третьего мира продают эротические фантазии бедным гражданам мира первого, которые в состоянии потратить на это лишние десять долларов.
Тот факт, что богатые предпочитают старомодных тьюторов, личных тренеров и поваров, а не Coursera или доставку еды через смартфон, ни для кого не секрет. Но автора статьи Нелли Боулерз идет дальше и заявляет, что происходит "люксеризация" человеческих отношений.
Если вы по-прежнему получаете услуги от живых людей или имеете возможность общаться с ними, значит скорее всего вы представитель новой элиты, престижное потребление которой заключается в отказе от цифровых услуг в пользу оффлайновых.
Бедные покупают в кредит айфон, богатые отказываются от смартфонов. Бедные стараются сделать так, чтобы их дети умели пользоваться компьютерами, богатые предлагают своим наследникам частные школы, где обучение строится на общении между людьми. Если тридцать лет назад обладание персональным компьютером было признаком роскоши, то сегодня жизнь, проведенная перед экраном - это признак вашей неуспешности в жизни.
Потом Боулерз сбивается на довольно спорные утверждения о том, что взросление с гаджетами вредит когнитивному развитию детей и утверждает, что на стороне IT-корпораций в этой дискуссии выступают многочисленные недобросовестные психологи».
На самом деле перед нами не обличение пороков нового мира, а признание о капитуляции старого – теплого и лампового.
И вот, почему:
Теплый ламповый мир был построен на тщательном соблюдении иерархии. Неважно, какой. В мире тресковой икры будет особо цениться красная и черная икра, а в мире красной и черной икры деликатесом станет «икра заморская (облизывается) баклажанная». При появлении первых электронных часов они становятся показателям статуса, а когда электроники станет много, будут цениться настоящие механические часы. Так алюминий стоил когда-то огромных денег, а потом из него стали штамповать ложки. Интересно, как часто понятия роскошь и богатство пересекаются с понятием бесполезное. Ламборгини в Москве или золотой унитаз – это апофеоз глупости.
Эта иерархия ценностей создает у богатых людей иллюзию того, что уж им то доступно самое лучшее. Это прививает людям глупейшую мысль, что ужин в самом дорогом ресторане с самым дорогим шампанским с самой дорогой проституткой может доставить человеку в сто раз больше удовольствия, чем посиделки с друзьями дома за хорошим разговором и бутылкой простого красного македонского вина.
И вот на наших глазах этот мир начинает разрушаться. Искусственный жемчуг ничем не отличается от настоящего. Эксперты не в состоянии отличить искусственные алмазы от настоящих. Люди начинают получать услуги стоимостью в миллиарды долларов практически бесплатно. Вы хотя бы представляете, какой колоссальный объем работы выполняет в реальном времени ваш навигатор? Сколько технологий работает в вашем мобильном телефоне?
И вот богатые люди пытаются выстроить новую иерархию ценностей, которая отличала бы их от простых смертных. Завтра лучшее в мире мясо будет выращиваться в пробирке, но они будут доказывать всем, что настоящее мясо может быть только натуральным. Только мясо крокодила, которого кормили девственными кроликами, выращенными на лугах Бразилии без ГМО. Хотя на самом деле на слепых тестах никто не сможет отличить настоящую японскую мраморную говядину от синтетической.
Завтра будут сделаны молекулярные копиры, которые смогут делать любому желающему копию Рембрандта, не отличающуюся от оригинала ни единым атомом, но миллиардеры будут уверять всех, что только их оригинал обладает духом и аурой настоящего голландца, а копии – это для нищебродов. Так хреновые верующие стремятся обязательно попасть в особые намоленные места – в Иерусалим, на Афон или в Ватикан, а настоящие верующие могут испытывать религиозный восторг при виде придорожного одуванчика, увидев в нем красоту Господа.
Мы все это уже проходили. Настоящий звук возможен только на виниле и только от колонок с золотыми проводами. Настоящее кино можно снимать только на пленку. Настоящая японская кухня есть только в одном нью-йоркском ресторане.
Элита вчера точно так же защищала необходимость лифтеров в лифте и швейцаров на входе. Теплых и ламповых. А фотоэлемент – это удел нищебродов. Скажите, сильно ли вы тоскуете по отсутствию живого контакта с лифтером?
А завтра их журналисты будут писать статьи доказывающие, что водитель с продавцом и официантом обязательно должны быть живыми, а машины без водителя, магазины без продавцов и рестораны без официантов – удел нищебродов. Вы, правда, будете скучать без контакта со сферой обслуживания?
Завтра искусственный интеллект будет в сто раз лучше, точнее и быстрее живого врача, но элита будет прославлять теплых и ламповых дипломированных врачей.
Кто тут недоволен онлайн-порнографией и считает, что это удел бедняков?
Вот нейросеть , которая генерирует лица людей. Вы не сможете отличить их от настоящих. Завтра нейросеть возьмет на себя генерацию порнографии. На любой вкус, цвет и размер. Но элита будет требовать теплых и ламповых порнозвезд. Якобы, сгенерированные «не вставляют». Странно, что они не требуют, чтобы в кино убивали людей по-настоящему. Иначе «не вставляет».
Не бойтесь цифры, это только носитель. Сильное стихотворение, прочитанное с экрана мобильника, может вставить сильнее, чем отборный кокаин, привезенный прямым дипломатическим рейсом из Венесуэлы. Не верьте колумнисту Нью-Йорк Таймс, она получает много денег и пытается защитить свою иерархию ценностей.
А мы построим на ее обломках новую. С теплыми и ламповыми настоящими друзьями.»
Подключить оставшиеся две трети человечества к интернету - один из главных вызовов современности. Отсутствие возможности у почти 5 миллиардов жителей Земли свободно получать, пользоваться и распространять информацию - общемировая проблема, которая влияет на экономическое и политическое развитие всей планеты. Apparat решил разобраться, как обстоят дела с цифровым неравенством в России.
Вы - члены информационного общества, одной из главных ценностей которого является наличие доступа к знаниям. В несколько кликов вы можете записаться на месячный онлайн-курс под скромным названием How to Change the World , или прочитать в «Википедии» статью о буйствующем сейчас в Африке смертоносном вирусе Эбола , или начать делать свой Facebook. Вы можете не делать ничего, посмотрев вместо этого подборку селфи красивых подруг футболистов .
Но у вас есть огромное конкурентное преимущество перед людьми, у которых нет компьютеров, смартфонов и интернета: перед ними подобный выбор не стоит в принципе. Именно поэтому ещё в конце XX века ООН официально признала появление в нашей реальности принципиально нового критерия общественной дискриминации - цифрового неравенства.
Ликвидируя цифровое неравенство, мы можем способствовать экономическому и политическому развитию в конкретных регионах планеты - там будут возникать новые сектора экономики, увеличиваться степень участия людей в публичной политике. В России за последнее десятилетие темпы прироста пользователей интернета достаточно внушительны, но всё равно недостаточны: пока только меньшинство людей в нашей стране может использовать Сеть в своих целях.
Процент пользователей интернета от числа жителей каждого федерального округа. Больше половины населения страны не пользуется интернетом. Источник: Фонд общественного мнения
населения России не пользуются интернетом
Это значит, что около 85 миллионов россиян не получают электронных писем, не читают Twitter и не зарегистрированы в «Одноклассниках». Среди них есть те, кто не имеет физической или экономической возможности подключиться, и те, кто просто не интересуется новыми технологиями. Для сравнения: в Норвегии, Голландии, Исландии, Дании, Швеции, Люксембурге интернет есть более чем у 90 % пользователей. Зато по абсолютному количеству интернет-пользователей многонаселённая Россия вышла на первое место в Европе - по данным 2012 года, их в России было почти 68 миллионов человек.
населённых пунктов в принципе не могут быть подключены к Сети
Это значит, что жители, при всём желании, имея финансовую возможность платить за трафик, не могут подключиться к интернету. Интернета нет ни в школах, ни в библиотеках, ни на почте - нигде в городе. В интернет нельзя выйти и через мобильные устройства. К этим городам до сих пор не подведены необходимые коммуникации. Более того, в России есть населённые пункты, в которых отсутствует даже голосовая сотовая связь, - это 1343 малых городов, сёл и деревень.
cемей с доходом менее 12 тысяч рублей не имеют доступа к интернету
Доступ к Сети напрямую связан с доходами людей. Среди российских семей, которые получают более 45 тысяч рублей в месяц, только 21 % не выходят в Сеть. Проблема усугубляется тем, что цена на интернет в отдалённых регионах страны повышается в разы. Жители Дальнего Востока в среднем платят за доступ примерно в 14 раз больше, чем москвичи.
ВВП России приходится на интернет-экономику
В русском языке не сложилось единого эквивалента устоявшегося в английском языке термина digital divide. Используются словосочетания «цифровой барьер», «цифровое неравенство», «цифровое разделение», «цифровой разрыв», «цифровая пропасть».
Термин появился как обозначение раскола в семье, когда муж слишком много времени проводил за компьютером в ущерб всему остальному, и жена не могла с этим смириться.
В настоящее время «digital divide» является термином социально-политического характера. На возможности ущемленной группы влияют отсутствие или ограниченный доступ к телевидению, интернету, телефонной связи (мобильной и стационарной), радио. Все это ограничивает возможности этой группы в поиске работы, налаживании социальных связей, культурном обмене и может негативно влиять на экономическую эффективность, развитие и сохранение культуры, уровень образования. Согласно общепринятым воззрениям на информационное общество, его специфика такова, что свободный обмен информацией способствует преодолению нищеты и неравенства, однако у тех, кто отключен от такого обмена, перспективы катастрофически ухудшаются (Кастеллс, Химанен: «Глобальный тренд заключается в том, что информационная экономика подключает к своей сети тех, кто представляет для нее ценность (тем самым придавая им дополнительную ценность), но отключает тех, кто не имеет для нее ценности (тем самым еще более уменьшая их шансы обрести какую-то ценность)» ).
Термин применяется как в отношении разницы между странами (пример: в Исландии доступ к интернету имеет более 86 % населения, а в Либерии - 0,03 %), так и в отношении разницы в возможностях разных социальных слоев внутри одного общества.
Некоторые наблюдатели видят в этом явлении целенаправленную «политику исключения», которую ведут те или иные страны и общества - взамен прежней политики репрессий. На саммите ООН по информационному обществу (WSIS) в декабре года по инициативе большинства стран-участников третьего мира была принята Декларация, призывающая западные страны сделать всё, чтобы преодолеть «цифровое разделение» в его сегодняшнем виде к году, однако ведущие европейские страны и Япония даже не делегировали на саммит своих официальных представителей.
Wikimedia Foundation . 2010 .
цифровое неравенство - Неравенство между различными слоями населения, возникающее из за невозможности малообеспеченным гражданам пользоваться преимуществами информационных технологий, Интернета, дистанционного обучения и т.д. Тематики… … Справочник технического переводчика
Цифровой барьер, цифровое неравенство, информационное неравенство (англ. Digital divide) ограничение возможностей социальной группы из за отсутствия у неё доступа к современным средствам коммуникации. Содержание 1 Терминология 2 Суть… … Википедия
Цифровой барьер, цифровое неравенство (англ. Digital divide) ограничение возможностей для социальной группы из за отсутствия у нее доступа к современным средствам коммуникации. Содержание 1 Терминология 2 Суть явления 3 Связь с шовинизмом … Википедия
Запрос «ВТК» перенаправляется сюда. Другая расшифровка Воспитательно трудовая колония. ОАО «ВолгаТелеком» Тип Открытое акционерное общество Год основания … Википедия
Тип Нетбук Процессор … Википедия
Викиверситет Wikiversity http://wikiversity.org/ Коммерческий: Нет Тип сайта: Сетевая энциклопедия … Википедия
Викиверситет Wikiversity http://wikiversity.org/ Коммерческий: Нет Тип сайта: Сетевая энциклопедия … Википедия
Викиверситет Wikiversity http://wikiversity.org/ Коммерческий: Нет Тип сайта: Сетевая энциклопедия … Википедия
